Glättung

Die Savitzky-Golay Funktion wird häufig als Tiefpass-Filter verwendet um die relativen Breiten und Höhen der Spektrenlinien in verrauschten Daten ohne gröߟeren Intensitätsverluste sichtbar zu machen. Diese Prozedur wird Glättung genannt. Jeder Datenpunkt eines 2D- oder 3D-Datenobjekts wird, unter Berücksichtigung einer Anzahl benachbarter Datenpunkte und der allgemeinen Steigung der Daten ausgewertet. Der Algorithmus kann auch zur Berechnung von Ableitungen verwendet werden.

Savitzky-Golay Glättungsalgorithmus

Jeder Datenpunktwert fi eines Datenobjekts wird durch eine lineare Kombination gi seiner selbst und einer Anzahl benachbarter Datenpunkt ersetzt,

 

Wobei nL die Anzahl der Datenpunkte zur Linken des iten Datenpunkts und nR die Anzahl der Datenpunkte zur Rechten angibt. In der Software entsprechen nL und nR der Berechnung von  gi als gewichtetes Mittel der Datenpunkte um den iten Datenpunkt. Der Wichtungsfaktor cn für jeden Datenpunkt i wird durch eine polynome Anpassungsfunktion des Grades M berechnet. Das Polynom wird wie folgt definiert

Die benötigten Polynome für die kleinstquadrat Anpassung eines jeden Datenpunkts können einfach durch eine zuvor erstellte Matrix zur Erstellung der erforderlichen Linearkombination dieser Polynome erhalten werden. Die Matrix AT sieht folgendermaߟen aus:

Die Wichtungsfaktoren der Savitzky-Golay Koeffizienten cn werden für jeden Datenpunkt abgeleitet über die Vektoren aj bezüglich der Vektoren fi der Matrix Aij mit der speziellen Form

und

wobei f durch den Einheitsvektor en ersetzt wird wenn der Koeffizient cn die Komponente a0 ist. cn wird dann berechnet als:

Für die Glättungsfunktion sind nur die Koeffizienten a0 von Interesse, da diese die Intensitätswerte der geglätteten Datenpunkte wiedergeben.

Beispiel der Savitzky-Golay Glättung

Eine recht verrauschtes UV/VIS-Spektrum wird mit einem Polynom 2ten Grades und einem Fenster von neun Datenpunkten geglättet.

Das ursprüngliche UV/VIS-Spektrum sieht so aus:

 

(Source: J&M Analytische Mess- und Regeltechnik GmbH, Robert-Bosch Str. 83, 73431 Aalen, Germany)

Nach Anwendung der Glättungsfunktion sieht das Spektrum folgendermaߟen aus:

 

Glättungs Parameter

Folgende Parameter können angepasst werden:

Polynomer Grad

Dieser Wert gibt den Grad des Glättungspolynoms an. Ein positiver Integerwert (gröߟer Null) muss hier eingegeben werden.

• 1 = erster Grad

• 2 = zweiter Grad

...

• n = nter Grad.

Glättungsfenster

Eine ungerade Zahl an Datenpunkten um jeden Datenpunkt des Spektrums herum wird zur Glättungsberechnung verwendet. Einzelheiten finden Sie in der Savitzky-Golay Dokumentation. Die Anzahl der Datenpunkte kann über das Auswahlfeld gewählt werden.

Tipp: Mit steigender polynomer Ordnung muss auch die Anzahl der Datenpunkte für das Glättungsfenster erhöht werden. Ist die Zahl der Fensterpunkte zu gering, wird eine Mathematik-Fehlernachricht ausgegeben.

References

Savitzky A., and Golay, M.J.E. 1964, Analytical Chemistry, vol. 36, pp. 1627–1639.

Hamming, R.W. 1983, Digital Filters, 2nd ed. (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall).

Ziegler, H. 1981, Applied Spectroscopy, vol. 35, pp. 88–92.

Bromba, M.U.A., and Ziegler, H. 1981, Analytical Chemistry, vol. 53, pp. 1583–1586.